Viết phương trình của tam giác ABC biết A(1;2), B(3;4) và cosA=\(\frac{2}{\sqrt{5}}\), cosB=\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn: \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC+cosA}\)CM tam giác ABC đều
Giả thiết của dề bài chưa đúng, mình sửa lại thành \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC.cosA}\)
Đặt \(a=\sqrt{cosA},b=\sqrt{cosB},c=\sqrt{cosC}\)
Suy từ giả thiết :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Vậy ta có \(\sqrt{cosA}=\sqrt{cosB}=\sqrt{cosC}\Rightarrow\hept{\begin{cases}cosA=cosB=cosC\\\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều.
cho tam giác ABC biết 2 đỉnh và trực tâm H. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau
a) A(1;1), B(3;4), H(0;0)
b) A(-1;2), B(-2;-2), H(3;2)
Cách làm 2 câu tương tự nhau.
a.
\(\overrightarrow{AB}=\left(2;3\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (3;-2) là 1 vtpt
Phương trình AB (qua A) có dạng:
\(3\left(x-1\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-2y-1=0\)
\(\overrightarrow{HA}=\left(1;1\right);\overrightarrow{HB}=\left(3;4\right)\)
Do BC vuông góc AH nên nhận (1;1) là 1 vtpt
Phương trình BC (đi qua B) có dạng:
\(1\left(x-3\right)+1\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+y-7=0\)
Do AC vuông góc HB nên nhận (3;4) là 1 vtpt
Phương trình AC (đi qua A) có dạng:
\(3\left(x-1\right)+4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-7=0\)
Câu b hoàn toàn tương tự
Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-3;4), C(2;0)
a) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ B
b) Viết phương trình đường cao kẻ từ A
c) Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB
a) Gọi M là trung điểm cạnh CA thì \(M\left(\frac{3}{2};1\right)\) và \(\overrightarrow{BM}=\left(\frac{9}{2};-3\right)\).
Đường trung tuyến BM của tam giác có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}.\overrightarrow{BM}=\left(3;-2\right)\) suy ra ta có phương trình
\(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{-2}\)
b) Do đường cao kẻ từ A có phương vuông góc với đường thẳng BC nên nó nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(5;-4\right)\) làm vec tơ pháp tuyến. Suy ra có phương trình.
\(5.\left(x-1\right)-4\left(y-2\right)=0\) hay \(5x-4y+3=0\)
c) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;2\right)=2.\left(-2;1\right)\). Gọi N là trung điểm AC thì N(-1;3)
Đường trung trực của cạnh AB đi qua N(-1;3) và có vec tơ pháp tuyến
\(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\)
Suy ra có phương trình
\(-2.\left(x+1\right)+1.\left(y-3\right)=0\) hay \(-2x+y-5=0\)
cho tam giác ABC .cmr
a) \(cosA+cosB+cosC\le\frac{3}{2}\)
b) \(cos2A+cos2B+cos2C\ge-\frac{3}{2}\)
a)
\(cosA=\sqrt{cosA^2}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}}\le\frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}\)(BDT AM-GM)
Tương tự ta có:
\(cosB\le\frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2};cosC\le\frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Cách khác
CHo Tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác
Đặt x1=MA;x2=MB;x3=MC và p1;p2;p3 lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có BĐT \(x_1+x_2+x_3\ge2\left(p_1+p_2+p_3\right)\)
Vận dụng giải bài trên:
Gọi O,R là tâm và bán kính đg tròng ngoại tiếp Tam giá ABC
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BC,CA
Dễ thấy \(^{\widehat{A}=\widehat{MOB}}\).Do đó:
\(cosA=cos\left(\widehat{MOB}\right)=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R}\)
tương tự \(cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}\)
Do đó \(cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{T}\le\frac{1}{2}\left(\frac{OA+OB+OC}{R}\right)=\frac{3}{2}\) (BĐT erdos-mordell )
Dấu "=" khi tam giác ABC đều
thank nha thắng .. cậu lm ra câu b chưa
Bài 1: Giải phương trình sau: \(x^2-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC=a, và góc giữa hai véctơ \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GD}\) nhỏ nhất.
1.
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+1}=a>0\\\sqrt{x^2-x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2b^2-a^2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}b-a\right)\left(2b+\sqrt{3}a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=\sqrt{3}b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{3}.\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+1=3x^2-3x+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Bài 2:
Đặt \(AB=x>0\)
\(AG=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}\)
\(CG=\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2+AC^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+a^2}\)
\(BG=\dfrac{2}{3}\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^2+\dfrac{a^2}{4}}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}\)
\(\Leftrightarrow GB^2+GC^2+2GB.GC.cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=AG^2\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=\dfrac{AG^2-BG^2-CG^2}{2GB.GC}\)
\(=\dfrac{\dfrac{a^2+x^2}{4}-\left[\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{x^2}{4}+a^2\right)+\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{a^2}{4}+x^2\right)\right]}{\dfrac{2}{9}\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\)
\(=-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{2\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\le-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{5\left(x^2+a^2\right)}=-\dfrac{11}{20}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=x\Leftrightarrow AB=a\)
Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác AD
a,CM \(\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)
b, Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC, biết \(IB=\sqrt{5},IC=\sqrt{10}\). Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác AD
a,CM √2AD =1AB +1AC
b, Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC, biết IB=√5,IC=√10. Tính diện tích tam giác ABC
a) Đặt AB = c; AC = b; AD = d.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa ta có:
S ABD = ½.AB.AD.sin BAD = ½.cd.sin 45º = ½cd.1/√2
Tương tự: S ACD = ½bd.1/√2
=> S ABC = S ABD + S ACD = ½cd.1/√2 + ½bd.1/√2 = ½d(b + c)/√2
mà S ABC = ½bc
=> ½d(b + c)/√2 = ½bc
=> (b + c)/bc = √2/d
<=> 1/b + 1/c = √2/d
b,Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K. Tam giác BCK có BH vừa là phân giác vừa là đường cao Tam giác BCK cân tại B => BH là đường trung tuyến => CH = KH. và KC = 2HC.
Đặt BC = x Ta có: AD = BK - AB = BC - AB = x - AB
Gọi giao điểm của AC và BH là E.
Xét tam giác AEB và tam giác HEC có góc EAB = góc EHC = 90độ và góc AEB = góc HEC (đối đỉnh)
tam giác AEB ~ tam giác HEC(g.g)
Góc HCE = góc ABE.
Góc HCE = góc ABC/2 (1)
Mà Góc ECI = gócACB/2 (2)
Từ (1) và (2) Góc ICH = Góc HCE + Góc ECI = (gócABC + góc ACB)/2 = 90độ/2 = 45độ.
Xét tam giác HIC có góc IHC = 90độ và Góc ICH = 45 độ (góc còn lại chắc chắn = 45 độ)
tam giác HIC vuông cân tại H => HI = HC.
Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho tam giác này ta được: 2HI² = IC²
√2.IH = IC hay CH = IC/√2.
CH =HI=√10 /√2
Suy ra BH=HI+IB=√10 /√2+√5
=>BC=√((√10 /√2+√5)²+(√10 /√2)²)
KC = 2CH = 2.√10/√2
Xét tam giác: AKC có góc KAC = 90độ và Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: KC² = AK² + AC²
AC² = KC² - AK² hay AC² = (2.√10/√2)² - (x - AB)² (3)
Tương tự đối với tam giác ABC ta có: AC² = BC² - AB² AC² = x² - AB² (4)
Từ (3) và (4) suy ra (2.√10/√2)² - (x - AB)² = x² - AB²
20 - (x² - 2ABx +AB²) = x² - AB²
=>10=x(x-AB)
sau đó tính AB rồi tính AC And S ABC
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;0), B(2;-3), C(0;-1)
a)Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC.
b)Viết phương trình đường thẳng vuông góc AC và cách B một khoảng bằng \(\sqrt{5}\)
`a)` Vì `AM` là đường trung tuyến của `\triangle ABC`
`=>M` là trung điểm của `BC`
`=> M ( 1 ; -2 )`
Ta có: `\vec{AM} = ( -1 ; -2 )`
`=>\vec{n_[AM]} = ( 2 ; -1 )`
Mà `A ( 2 ; 0 ) in AM`
`=>` Ptr đường trung tuyến `AM` là: `2 ( x - 2 ) - ( y - 0 ) = 0`
`<=> 2x - y - 4 = 0`
________________________________________________________
`b)` Ta có: `\vec{AC} = ( -2 ; -1 )`
Gọi ptr đường thẳng vuông góc với `AC` là `\Delta`
`=>` Ptr `\Delta` là: `-2x - y + c = 0`
`d ( B , \Delta ) = \sqrt{5}`
`=> [ | -2 . 2 - (-3) + c | ] / \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}`
`<=> | c - 1 | = 5`
`<=> c = 6` hoặc `c = -4`
`=>` Ptr `\Delta` là: `-2x - y + 6 = 0`
hoặc `-2x - y - 4 = 0`
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;-4). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông tại C và có góc B bằng 60o.
2) Cho tam giác ABC có góc nhọn B, AD và CE là hai đường cao.
Biết rằng SABC = 9SBDE, DE=2\(\sqrt{2}\) . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1.
\(\overrightarrow{AB}=\left(2;-6\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{10}\) \(\Rightarrow BC=AB.cosB=\sqrt{10}\)
Gọi \(C\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(x-1;y-2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(x-3;y+4\right)\end{matrix}\right.\)
Tam giác ABC vuông tại C và có \(BC=\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\\BC^2=10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-3\right)+\left(y-2\right)\left(y+4\right)=0\\\left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-4x+2y-5=0\\x^2+y^2-6x+8y+15=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y-10=0\\x^2+y^2-6x+8y+15=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3y+10\right)^2+y^2-6\left(3y+10\right)+8y+15=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+10y+11=0\)
\(\Leftrightarrow y=...\)
2.
Kẻ \(EF\perp BC\)
\(S_{ABC}=9S_{BDE}\Rightarrow AD.BC=9EF.BD\Rightarrow\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BC}{9BD}\)
Talet: \(\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{9BD}\Rightarrow BC=9BF\)
Hệ thức lượng: \(BE^2=BF.BC=9BF^2\Rightarrow BE=3BF\)
\(\Rightarrow cosB=\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{1}{3}\)
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC và \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp BDE
\(sinB=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow r=\dfrac{DE}{2sinB}=\dfrac{3}{2}\) (định lý sin tam giác BDE)
Dễ dàng chứng minh 2 tam giác ABC và BDE đồng dạng (chung góc B và \(\widehat{A}=\widehat{BDE}\) vì cùng bù \(\widehat{CDE}\))
Mà \(S_{ABC}=9S_{BDE}\Rightarrow\) 2 tam giác đồng dạng tỉ số \(k=\sqrt{9}=3\)
\(\Rightarrow R=3r=\dfrac{9}{2}\)
cho 3 điểm A(1;2) ;B(3;4);C(6;1)
a,Biểu diễn ba điểm trên mp tọa độ
b,Viết phương trình đường trung tuyến BM và CN
c,Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC